إحصائيات دروس

أنوفا تعليمي

في البرنامج التعليمي لهذا الأسبوع , سنغطي موضوع تحليل التباين . انظر أدناه قائمة عينة من المشاكل ذات الصلة , مع حلول الخطوة sy خطوة.

نأمل أن تجدها مفيدة. نحن نشارك البرامج التعليمية الكاملة والنصائح والتلميحات مع أعضاء مجتمعنا. من فضلك لا تتردد في اتصل بنا إذا كان لديك أي أسئلة.

عينة من مشاكل ANOVA

السؤال رقم 1: تم استخدام تحليل التباين لتقييم الفروق المتوسطة من المقاييس المتكررة دراسة بحثية. تم الإبلاغ عن النتائج كـ F (3,24) = 6.40.

أ. كم عدد الحالات العلاجية التي تمت مقارنتها في الدراسة؟

ب. كم عدد الأفراد الذين شاركوا في الدراسة؟

يحل: (أ) كانت هناك 3 + 1 = 4 شروط علاجية.

(ب) إجمالي عدد الأفراد هو 3 + 24 + 1 = 28.

السؤال 2: تمثل البيانات التالية نتائج دراسة مقاييس مستقلة تقارن ثلاث علاجات.

أ. حساب SS لمجموعة من 3 وسائل العلاج. (استخدم الوسائل الثلاث كمجموعة من n = 3 درجات واحسب SS.)

ب. باستخدام النتيجة من الجزء أ , احسب n (يعني). لاحظ أن هذه القيمة تساوي SS بين (انظر المعادلة 13.6).

ج. الآن , احسب SS بين الصيغة الحسابية باستخدام قيم T (المعادلة 13.7). يجب أن تحصل على نفس النتيجة كما في الجزء ب.

يحل: (أ) حصلنا على أن \(\bar{M}=\frac{2+3+7}{3}=4\)

وهو ما يعني أن

\[S{{S}_{Means}}={{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-4 \right)}^{2}}=4+1+9=14\]

(ب) هذا يعني أن \(n*S{{S}_{Means}}=10\times 14=140\).

(ج) نحصل , من ناحية أخرى ,

\[S{{S}_{Between}}=\frac{{{20}^{2}}}{10}+\frac{{{30}^{2}}}{10}+\frac{{{70}^{2}}}{10}-\frac{{{120}^{2}}}{30}=140\]

السؤال 3: يمكن أن يكون إصلاح الأضرار التي تلحق بالمنازل بسبب انفجار الأنابيب مكلفًا. بحلول الوقت الذي تم فيه اكتشاف التسرب , ربما تكون مئات الجالونات من المياه قد غمرت المنزل بالفعل. يمكن لصمامات الإغلاق التلقائي أن تمنع حدوث أضرار كبيرة بالمياه نتيجة أعطال السباكة. تحتوي الصمامات على مستشعرات تقطع تدفق المياه في حالة حدوث تسرب , وبالتالي تمنع الفيضان. إحدى السمات المهمة هي الوقت (بالمللي ثانية) اللازم لجهاز الاستشعار لاكتشاف تسرب المياه. تم تضمين بيانات العينة التي تم الحصول عليها لأربعة صمامات إيقاف مختلفة في ملف Waterflow.

أ. قم بإعداد جدول ANOVA ذي الصلة وقم بإجراء اختبار فرضية لتحديد ما إذا كان متوسط وقت الكشف يختلف بين نماذج صمام الإغلاق الأربعة. استخدم مستوى أهمية 0.05.
ب. ما هو مصدر الاختلاف بين العينات؟

صمام 1	الصمام 2	الصمام 3	الصمام 4
17	18	28	17
10	17	25	17
18	11	30	17
18	16	26	19
17	16	25	18
14	18	27	21
18	14	23	21
13	17	23	12
10	20	26	15
11	14	22	18

حل: يتم الحصول على الجدول التالي من البيانات المقدمة

ملحوظة	صمام 1	الصمام 2	الصمام 3	الصمام 4
	17	18	28	17
	10	17	25	17
	18	11	30	17
	18	16	26	19
	17	16	25	18
	14	18	27	21
	18	14	23	21
	13	17	23	12
	10	20	26	15
	11	14	22	18

يقصد	14.6	16.1	25.5	17.5
سانت ديف.	3.406	2.558	2.461	2.677

نود أن نختبر

\[H_0: \,\mu_{1}= \mu_{2}= \mu_{3}= \mu_{4}\]

\[H_A: \operatorname{Not all the means are equal}\]

باستخدام البيانات الموجودة في الجدول أعلاه , يمكننا حساب القيم التالية اللازمة لإنشاء جدول ANOVA. نملك:

\[SS_{Between}=\sum\limits_{i=1}^{k}{n}_{i} {\left( {\bar{x}}_{i}-\bar{\bar{x}} \right)}^{2}\]

and therefore

\[SS_{Between}={10}\left({14.6}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({16.1}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({25.5}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({17.5}-{18.425}\right)^2=709.475\]

Also,

\[SS_{Within} = \sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {n}_{i}-1 \right) s_{i}^{2}}\]

من الذي نحصل عليه

\[SS_{Within}=\left({10}-1\right) \times {3.406}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.558}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.461}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.677}^2=282.3\]

Therefore

\[MS_{Between}=\frac{SS_{Between}}{k-1}= \frac{{709.475}}{3}= {236.492}\]

بنفس الطريقة , يتم الحصول عليها

\[MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{N-k}= \frac{{282.3}}{36}= {7.842}\]

ومن ثم , يتم حساب إحصائيات F كـ

\[F=\frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} = \frac{{236.492}}{{7.842}}= {30.1583}\]

القيمة الحرجة لـ \(\alpha ={0.05}\) و \(df_{1} = 3\) و \(df_{2}= {36}\) تعطى بواسطة

\[F_C = {2.8663}\]

والقيمة الاحتمالية المقابلة هي

\[p=\Pr \left( {{F}_{3,36}}> {30.1583} \right) = {0.000}\]

يلاحظ أن قيمة p أقل من مستوى الأهمية \[\alpha =0.05\] , وبالتالي فإننا نرفض \({{H}_{0}}\). وبالتالي , لدينا أدلة كافية لرفض الفرضية الصفرية للوسائل المتساوية , عند مستوى أهمية 0.05.

بإيجاز , لدينا جدول ANOVA التالي:

مصدر	SS	مدافع	السيدة	F	ف القيمة	كريت. F
بين المجموعات	709.475	3	236.492	30.1583	0.000	2.8663
داخل المجموعات	282.3	36	7.842
المجموع	991.775	39