具有给定相关性的相关系数置信区间

这个计算器的过程与常规的非常相似 样本相关性的置信区间计算器 ,唯一的区别是在这种情况下您没有样本数据集,而是您拥有样本相关性本身。

你只需要给定的相关性来获得置信区间吗？

不,你需要多一点。已经提供了样本相关性非常好,因为您可以省去长时间计算它的工作。

但是,您还需要知道用于计算样本相关性的样本大小 \(n\)（即 X 和 Y 对的数量）,当然,与所有置信区间一样,您需要指定置信水平。

最常用的置信水平是 95%（或 0.95）,但您也可以使用 90%,98%,99% 等,以及介于两者之间的任何值。换句话说,给定相关性和样本量,然后选择置信水平。

您如何找到具有给定相关性的相关系数和置信区间？

与处理数据集的方式完全相同。一旦你有了相关性（现在你已经给出了）,你就可以对其进行变换并计算相关性的特殊变换（基于反双曲正切）。

然后为转换后的相关性计算置信区间的限制,然后将这些限制转换回（使用双曲正切）,以获得您正在寻找的置信区间。

例子

假设您的样本相关性为 \(r = 0.45\),样本大小为 \(n = 18\)。计算样本相关系数的 99% 置信区间：

解决方案：

已提供以下信息：

Sample Correlation \(r\) =	\(0.45\)
Sample Size \(n\) =	\(18\)
Confidence level =	\(99\%\)

步骤 1：计算样本相关系数的变换

下一步包括计算我们提供的样本相关系数的变换（反双曲正切）。

我们要做的是为相关性的变换构造一个辅助置信区间,它对应于反双曲正切,从中得出相关性本身的置信区间。得到以下内容：

\[r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485\]

第 2 步：计算标准误差

现在我们将使用以下公式计算辅助置信区间的标准误差 \(SE\)：

\[ SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258\]

其中 \(n = 18\) 对应于样本大小（对数）。

第 3 步：计算辅助置信区间

现在我们需要计算辅助置信区间,即相关性对数的置信区间。

所需的置信水平是 \(99\%\),因此相应的临界 z 值是 \(z_c = 2.576\),这是使用正态分布表（或您的计算器）获得的。利用这些信息,我们计算辅助区间的下限和上限：

利用这些信息,我们计算辅助区间的下限和上限：

\[ L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18\]

和

\[ U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15\]

因此,转换后相关性的辅助置信区间为 \(CI' = (-0.18, 1.15)\)。

第 4 步：计算相关性的置信区间

最后,我们可以通过将双曲正切函数应用于上面获得的辅助置信区间的限制来计算我们正在寻找的 \(99\%\)：

\[ L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178\]\[ U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818\]

因此,根据上面提供的信息,样本相关系数为\(r = 0.45\),样本相关的\(99\%\)置信区间为\(CI = (-0.178, 0.818)\)。

解释： 根据上面发现的结果,我们 \(99\%\) 确信区间 \((-0.178, 0.818)\) 包含真正的总体相关性 \(\rho\)。