问题 1： 正在评估一种锂电池的使用寿命。生产经理随机抽取了 10 个电池样本,并记录了以下以年为单位的寿命：{3.25, 4.0, 3.1, 3.7, 3.5, 4.2, 4.75, 2.3, 5.5, 3.7}。假设人口是正常的,回答以下问题。

一种。样本是什么意思？

湾什么是样本标准差？

C。解释样本均值与总体均值之间的关系。

d.假设您不知道总体的标准差,请构造一个

\(mu\) 的 90% 置信区间。

e.假设您确实知道总体的标准差是 \(\sigma\) = 0.7；为 \(\sigma\) 构建一个 90% 的置信区间。 （显示公式或计算器命令）

F。解释 e 部分中的置信区间。

解决方案： (a) 提供下表

样本平均值为 3.8

(b) 样本标准差为 0.891。

(c) 样本均值是总体均值的点估计。

(d) 总体标准差未知,因此我们将使用 t 统计量。 90% 的置信区间由下式给出

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

在这种情况下,我们有 \({{t}_{\alpha /2}}\) 是双尾 t 临界值,用于 \(\alpha =0.10\) 和 \(n-1 = 9\) 自由度。因此,我们得到

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

解释是我们有 90% 的把握确信实际总体均值 \(\mu\) 包含在区间 \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\) 中。

(d) 总体标准差可用,因此可以使用正态分布。因此,我们得到给定的 90% 置信区间

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

其中 \({{z}_{\alpha /2}}\) 对应于 \(\alpha =0.10\) 的双尾 z 临界值。因此,我们发现

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(e) 解释是我们有 90% 的信心认为实际总体均值 \(\mu\) 包含在区间 (3.4359, 4.1641) 中。

问题2： 随机抽样的 56 个荧光灯泡的平均寿命为 645 小时,标准偏差为 31 小时。构建总体均值的 95% 置信区间。

解决方案： 总体均值的 95% 置信区间由下式给出

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

问题 3： 从 1200 人的总体中抽取一个简单的随机样本。为了使估计 \(p\) 的抽样误差不超过 0.03 有 90% 的置信度,需要多大的样本量？

解决方案： 90% 的置信区间由下式给出

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

其中 \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\)。因此,误差幅度为

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

我们希望误差幅度不超过 0.03。这意味着

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

但是\(\hat{p}\)取0到1之间的值,所以\(\hat{p}(1-\hat{p})\)的最大值是在\(\hat{p}=\frac{1}{2}\)时达到的。因此,我们需要满足的条件是

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

这意味着样本大小应至少为 \(n=752\)。