किसी दिए गए सहसंबंध के साथ सहसंबंध गुणांक आत्मविश्वास अंतराल

इस कैलकुलेटर के लिए प्रक्रिया नियमित के समान है तंग आउथलकमक, , एकमात्र अंतर के साथ कि इस मामले में आपके पास एक नमूना डेटासेट नहीं है, बल्कि आपके पास नमूना सहसंबंध है।

क्या आपको आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त करने के लिए दिए गए सहसंबंध की आवश्यकता है?

नहीं, आपको थोड़ी और अधिक चाहिए।पहले से ही नमूना सहसंबंध प्रदान करना बहुत अच्छा है, क्योंकि आप अपने आप को लंबे समय तक कंप्यूटिंग के काम को छोड़ सकते हैं।

लेकिन फिर भी, आपको नमूना आकार \(n\) जानने की आवश्यकता है, जिसका उपयोग नमूना सहसंबंध की गणना करने के लिए किया गया था (यह, जोड़े x और y की संख्या), और भी, स्वाभाविक रूप से, सभी आत्मविश्वास अंतरालों के साथ, आपको आवश्यकता हैआत्मविश्वास स्तर को निर्दिष्ट करने के लिए।

सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला आत्मविश्वास स्तर 95% (या 0.95) है, लेकिन आप 90%, 98%, 99% आदि और बीच में कुछ भी उपयोग कर सकते हैं।तो दूसरे शब्दों में, सहसंबंध और नमूना आकार दिया जाता है, और आप आत्मविश्वास का स्तर चुनते हैं।

आप किसी दिए गए सहसंबंध के साथ सहसंबंध गुणांक और आत्मविश्वास अंतराल कैसे पाते हैं?

बिल्कुल उसी तरह जैसे आप डेटासेट के साथ करते हैं।एक बार जब आपके पास सहसंबंध होता है (जो अब आपको दिया जाता है), तो आप इसे बदल देते हैं और सहसंबंध के एक विशेष परिवर्तन (व्युत्क्रम हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा के आधार पर) की गणना करते हैं।

फिर आप रूपांतरित सहसंबंध के लिए एक आत्मविश्वास अंतराल के लिए सीमाओं की गणना करते हैं, और फिर आप उन सीमाओं (हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा का उपयोग करके) को वापस बदल देते हैं, ताकि आप जिस आत्मविश्वास अंतराल की तलाश कर रहे हैं उसे प्राप्त करने के लिए।

उदाहरण

मान लें कि आपके पास नमूना सहसंबंध है \(r = 0.45\), \(n = 18\) के नमूने के आकार के साथ।नमूना सहसंबंध गुणांक के लिए 99% विश्वास अंतराल की गणना करें:

समाधान:

निम्नलिखित जानकारी प्रदान की गई है:

Sample Correlation \(r\) =	\(0.45\)
Sample Size \(n\) =	\(18\)
Confidence level =	\(99\%\)

चरण 1: नमूना सहसंबंध गुणांक के परिवर्तन की गणना करें

अगले चरण में नमूना सहसंबंध गुणांक के परिवर्तन (उलटा हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा) की गणना करना शामिल है, जिसे हम प्रदान किए गए हैं।

हम जो करने की कोशिश कर रहे हैं, वह सहसंबंध के परिवर्तन के लिए एक सहायक आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण करना है, जो उलटा हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा से मेल खाता है, जिसमें से सहसंबंध के लिए एक आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त करना है।निम्नलिखित प्राप्त किया जाता है:

\[r' = \tanh^{-1}(r) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+0.45}{1-0.45}\right) = 0.485\]

चरण 2: मानक त्रुटि की गणना करें

अब हम निम्न सूत्र का उपयोग करके सहायक आत्मविश्वास अंतराल के लिए मानक त्रुटि \(SE\) की गणना करेंगे:

\[ SE =\frac{1}{\sqrt{n-3}} = \frac{1}{\sqrt{ 18-3}} = 0.258\]

जहां \(n = 18\) नमूना आकार (जोड़े की संख्या) से मेल खाती है।

चरण 3: सहायक विश्वास अंतराल की गणना करें

अब हमें सहायक विश्वास अंतराल की गणना करने की आवश्यकता है, जो सहसंबंध के लॉग का आत्मविश्वास अंतराल है।

आवश्यक आत्मविश्वास का स्तर \(99\%\) है, इसलिए फिर इसी महत्वपूर्ण Z- मूल्य \(z_c = 2.576\) है, जो एक सामान्य वितरण तालिका (या आपके कैलकुलेटर) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।इस जानकारी के साथ हम सहायक अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाओं की गणना करते हैं:

इस जानकारी के साथ हम सहायक अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाओं की गणना करते हैं:

\[ L' = r' - z_c \times SE = 0.485 - 2.576 \times 0.258 = -0.18\]

और

\[ U' = r' + z_c \times SE = 0.485 + 2.576 \times 0.258 = 1.15\]

तो फिर रूपांतरित सहसंबंध के लिए सहायक आत्मविश्वास अंतराल \(CI' = (-0.18, 1.15)\) है।

चरण 4: सहसंबंध के लिए आत्मविश्वास अंतराल की गणना करें

अंत में, हम \(99\%\) की गणना कर सकते हैं हम ऊपर प्राप्त सहायक आत्मविश्वास अंतराल की सीमाओं पर हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को लागू करके देख रहे हैं:

\[ L = \tanh(L') = \tanh( -0.18) = -0.178\]\[ U = \tanh(U') = \tanh(1.15) = 0.818\]

इसलिए, ऊपर दी गई जानकारी के आधार पर, नमूना सहसंबंध गुणांक \(r = 0.45\) है, और \(99\%\) नमूना सहसंबंध के लिए आत्मविश्वास अंतराल \(CI = (-0.178, 0.818)\) है।

व्याख्या: ऊपर पाए गए परिणामों के आधार पर, हम \(99\%\) विश्वास करते हैं कि अंतराल \((-0.178, 0.818)\) में सही जनसंख्या सहसंबंध है \(\rho\)।