प्रश्न 1: एक प्रकार की लिथियम बैटरी का जीवन काल के लिए मूल्यांकन किया जा रहा है। उत्पादन प्रबंधक ने 10 बैटरियों का एक यादृच्छिक नमूना चुना और वर्षों में निम्नलिखित जीवनकाल दर्ज किया: {3.25, 4.0, 3.1, 3.7, 3.5, 4.2, 4.75, 2.3, 5.5, 3.7}। निम्नलिखित का उत्तर यह मानकर दें कि जनसंख्या सामान्य है।

ए। नमूना मतलब क्या है?

बी। नमूना मानक विचलन क्या है?

सी। समझाइए कि प्रतिदर्श माध्य किस प्रकार जनसंख्या माध्य से संबंधित है।

डी। यह मानते हुए कि आप जनसंख्या के मानक विचलन को नहीं जानते हैं, की रचना कीजिए

\(mu\) के लिए 90% विश्वास अंतराल।

इ। मान लें कि आप जानते हैं कि जनसंख्या का मानक विचलन \(\sigma\) = 0.7 है; \(\sigma\) के लिए 90% विश्वास अंतराल का निर्माण करें। (सूत्र या कैलकुलेटर कमांड दिखाएं)

एफ। भाग ई में विश्वास अंतराल की व्याख्या करें।

समाधान: (ए) निम्नलिखित तालिका प्रदान की गई है

नमूना माध्य 3.8 . है

(बी) नमूना मानक विचलन 0.891 है।

(सी) नमूना माध्य जनसंख्या माध्य के लिए बिंदु अनुमान है।

(डी) जनसंख्या मानक विचलन अज्ञात है इसलिए हम टी-सांख्यिकी का उपयोग करने जा रहे हैं। 90% विश्वास अंतराल किसके द्वारा दिया जाता है

\[CI=\left( \bar{X}-{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{t}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)\]

इस मामले में हमारे पास \({{t}_{\alpha /2}}\) दो-पूंछ वाला टी-महत्वपूर्ण मान है, \(\alpha =0.10\) और \(n-1 = 9\) स्वतंत्रता की डिग्री के लिए। इसलिए, हम प्राप्त करते हैं कि

\[CI=\left( {3.8}-1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+1.833\times \frac{0.891}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.2835},\,\,{4.3165} \right)\]

व्याख्या यह है कि हम 90% आश्वस्त हैं कि वास्तविक जनसंख्या माध्य \(\mu\) अंतराल \(\left( {3.2835},\,\text{ }{4.3165} \right)\) द्वारा निहित है।

(डी) जनसंख्या मानक विचलन उपलब्ध है, इसलिए सामान्य वितरण का उपयोग किया जा सकता है। इसलिए, हम पाते हैं कि 90% विश्वास अंतराल दिया गया है

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\,\,\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)\]

जहां \({{z}_{\alpha /2}}\) \(\alpha =0.10\) के लिए दो-पूंछ वाले z-महत्वपूर्ण मान से मेल खाती है। इसलिए, हम पाते हैं कि

\[CI=\left( {3.8}-{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}},\,\,{3.8}+{1.6449}\times \frac{0.7}{\sqrt{10}} \right)=\left( {3.4359},\,\,{4.1641} \right)\]

(ई) व्याख्या यह है कि हम 90% आश्वस्त हैं कि वास्तविक जनसंख्या माध्य \(\mu\) अंतराल (3.4359, 4.1641) द्वारा निहित है।

प्रश्न 2: 56 फ्लोरोसेंट लाइट बल्बों के एक यादृच्छिक नमूने में 31 घंटे के मानक विचलन के साथ 645 घंटे का औसत जीवन है। जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल का निर्माण करें।

समाधान: जनसंख्या माध्य के लिए 95% विश्वास अंतराल किसके द्वारा दिया जाता है?

\[CI=\left( \bar{X}-{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}},\text{ }\bar{X}+{{z}_{\alpha /2}}\times \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\left( 645-1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}},\text{ }645+1.96\times \frac{31}{\sqrt{56}} \right)\]

\[=\left( 636.8806,\text{ }653.1194 \right)\]

प्रश्न 3: 1200 की आबादी से एक साधारण यादृच्छिक नमूना लिया जाना है। 90% विश्वास करने के लिए कि \(p\) अनुमान लगाने में नमूना त्रुटि 0.03 से अधिक नहीं है, नमूना आकार क्या आवश्यक होगा?

समाधान: 90% विश्वास अंतराल किसके द्वारा दिया जाता है

\[CI=\left( \hat{p}-{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\text{ }\hat{p}+{{z}_{\alpha /2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)\]

जहां \({{z}_{\alpha /2}}=1.645\)। इसलिए, त्रुटि का मार्जिन है

\[MOE=1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

हम चाहते हैं कि त्रुटि का मार्जिन 0.03 से अधिक न हो। इस का मतलब है कि

\[1.645\times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.03\Leftrightarrow \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\le 0.018237\]

\[\Leftrightarrow \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\le 0.000332591\Leftrightarrow n\ge \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{0.000332591}\]

लेकिन \(\hat{p}\) 0 और 1 के बीच मान लेता है, इसलिए \(\hat{p}(1-\hat{p})\) का अधिकतम मान \(\hat{p}=\frac{1}{2}\) होने पर प्राप्त होता है। इसलिए, हमें जिस शर्त को पूरा करने की आवश्यकता है वह है

\[n\ge \frac{1}{4}\times \frac{1}{0.000332591}=751.674\]

इसका मतलब है कि नमूना का आकार कम से कम \(n=752\) होना चाहिए।