बहुराष्ट्रीय प्रयोग
नमूना बहुराष्ट्रीय प्रयोग समस्याएं
प्रश्न 1: एक किसान जैक सुपर मार्केट के प्रबंधक यह जानना चाहेंगे कि क्या सप्ताह के उस दिन को प्राथमिकता दी जाती है जिस दिन ग्राहक अपनी खरीदारी करते हैं। 420 परिवारों के एक नमूने ने निम्नलिखित का खुलासा किया। 0.05 महत्व स्तर पर, क्या सप्ताह के प्रत्येक दिन को पसंद करने वाले ग्राहकों के अनुपात में कोई अंतर है? ची - वर्ग परीक्षण। फिट की अच्छाई समान अपेक्षित आवृत्तियों।
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हफ्ते का दिन |
व्यक्तियों की संख्या |
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Monday
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20
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Tuesday
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30
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Wednesday
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20
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Thursday
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60
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Friday
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80
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Saturday
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130
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Sunday
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80
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समाधान: निम्नलिखित शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने की आवश्यकता है:
\[H_0:\,p_{1} = {1/7},\,\,\, p_{2} = {1/7},\,\,\, p_{3} = {1/7},\,\,\, p_{4} = {1/7},\,\,\, p_{5} = {1/7},\,\,\, p_{6} = {1/7},\,\,\, p_{7} = {1/7}\]
पहला कार्य अपेक्षित मूल्यों के साथ तालिका का निर्माण कर रहा है। उपलब्ध कराए गए आंकड़ों के आधार पर, हम पाते हैं:
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श्रेणी |
निरीक्षण किया |
अपेक्षित होना |
(एफओ - फे)²/फी |
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सोमवार |
20 |
420*1/7=60 |
26.6667 |
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मंगलवार |
30 |
420*1/7=60 |
15 |
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बुधवार |
20 |
420*1/7=60 |
26.6667 |
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गुरूवार |
60 |
420*1/7=60 |
0 |
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शुक्रवार |
80 |
420*1/7=60 |
6.6667 |
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शनिवार |
130 |
420*1/7=60 |
81.6667 |
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रविवार का दिन |
80 |
420*1/7=60 |
6.6667 |
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योग = |
163.3333 |
इसका मतलब है कि ची-स्क्वायर आँकड़ों की गणना इस प्रकार की जाती है
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={26.6667} + {15} + {26.6667} + {0} + {6.6667} + {81.6667} + {6.6667}=163.3333\]
\(\alpha =0.05\) और \(df = 6\) के लिए महत्वपूर्ण मान किसके द्वारा दिया जाता है
\[\chi _{C}^{2}= {12.5916}\]
और संबंधित पी-मान है
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {163.3333} \right) = {0.000}\]
चूँकि p-मान महत्व स्तर \(\alpha = {0.05}\) से कम है, तो हम \({{H}_{0}}\) को अस्वीकार करते हैं। इसका अर्थ यह हुआ कि 0.05 सार्थकता स्तर पर समान अनुपात की शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करने के लिए हमारे पास पर्याप्त प्रमाण हैं।
प्रश्न 2: अनुसंधान ने प्रदर्शित किया है कि लोग दूसरों के प्रति आकर्षित होते हैं जो स्वयं के समान होते हैं। एक अध्ययन से पता चला है कि व्यक्तियों के उन उपनामों से शादी करने की संभावना अधिक होती है जो अपने अंतिम अक्षर से शुरू होते हैं (जोन्स, पेलहम, कार्वालो, और मिरेनबर्ग, 2004)। शोधकर्ताओं ने शादी के रिकॉर्ड को देखकर और प्रत्येक दूल्हे के लिए उपनाम और प्रत्येक दुल्हन के पहले नाम को रिकॉर्ड करके शुरू किया। इन अभिलेखों से एक दूल्हे और एक दूल्हे के बेतरतीब ढंग से मेल खाने की संभावना की गणना करना संभव है, जिसका अंतिम नाम एक ही अक्षर से शुरू होता है। मान लीजिए कि यह संभावना केवल 6.5% है। इसके बाद, n 200 का एक नमूना चुना जाता है। विवाहित जोड़ों का चयन किया जाता है और जिस संख्या ने शादी के समय वही अंतिम प्रारंभिक साझा किया था, उनकी गणना की जाती है। परिणामी देखी गई आवृत्तियाँ इस प्रकार हैं:
क्या इन तारीखों से संकेत मिलता है कि समान अंतिम अक्षर वाले जोड़ों की संख्या काफी भिन्न है जिसकी उम्मीद की जा सकती है यदि जोड़े यादृच्छिक रूप से मेल खाते हैं? एक = .05 के साथ परीक्षण करें।
समाधान: निम्नलिखित शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने की आवश्यकता है:
\[H_0:\,p_{1} = {0.065},\,\,\, p_{2} = {0.935}\]
पहला कार्य अपेक्षित मूल्यों के साथ तालिका का निर्माण कर रहा है। उपलब्ध कराए गए आंकड़ों के आधार पर, हम पाते हैं:
|
श्रेणी |
निरीक्षण किया |
अपेक्षित होना |
(एफओ - फे)²/फी |
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वही प्रारंभिक |
19 |
200*0.065=13 |
2.7692 |
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विभिन्न आद्याक्षर |
181 |
200*0.935=187 |
0.1925 |
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योग = |
2.9617 |
उस जानकारी का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
\[{{\chi }^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{{{\left( {{O}_{i}}-{{E}_{i}} \right)}^{2}}}{{{E}_{i}}}}={2.7692} + {0.1925}=2.9617\]
\(\alpha =0.05\) और \(df = 1\) के लिए महत्वपूर्ण मान किसके द्वारा दिया जाता है
\[\chi _{C}^{2}= {3.8415}\]
और संबंधित पी-मान है
\[p=\Pr \left( {{\chi }^{2}}> {2.9617} \right) = {0.0853}\]
चूँकि p-मान महत्व स्तर \(\alpha = {0.05}\) से अधिक है, तो हम \({{H}_{0}}\) को अस्वीकार करने में विफल रहते हैं। इसका मतलब है कि हमारे पास दिए गए अनुपात की शून्य परिकल्पना को 0.05 महत्व स्तर पर अस्वीकार करने के लिए पर्याप्त सबूत नहीं हैं।