घनत्व और संभाव्यता वितरण के बारे में आप सभी को पता होना चाहिए
इस ट्यूटोरियल में हम उन प्रमुख तत्वों को प्रस्तुत करेंगे जो एक प्रायिकता वितरण को परिभाषित करते हैं। सबसे पहले, हमें एक व्यापक और सामान्य परिभाषा देने के साथ शुरू करने की आवश्यकता है: एक संभाव्यता वितरण एक ऐसा कार्य है जो एक यादृच्छिक चर एक्स के संभाव्य व्यवहार का वर्णन करता है, इस तरह से यह हमें सभी संभव होने की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है ( अच्छी तरह से गठित) घटनाएँ। दूसरे शब्दों में, एक प्रायिकता फलन हमें एक निश्चित यादृच्छिक चर X से जुड़ी संभावनाओं की गणना करने के लिए एक स्पष्ट और स्पष्ट तंत्र प्रदान करता है। यही मैं चाहता हूं कि आप इसे बनाए रखें और अभी के लिए ध्यान रखें।
नोटेशन
अब थोड़ा अंकन के बारे में बात करते हैं। तो, मान लीजिए कि एक्स एक यादृच्छिक चर है और हम इसके वितरण के साथ काम कर रहे हैं। मान लें कि \(f\) X का वितरण है। इसलिए, आमतौर पर, आप \({{f}_{X}}\) का संदर्भ देखेंगे, जहां X इंगित करता हुआ दिखाई देता है। विशेष रूप से कि \(f\) एक्स का वितरण है। यह हमेशा ऐसा नहीं होता है, लेकिन जब वितरण फ़ंक्शन में एक सबस्क्रिप्ट होता है, तो इसका मतलब वास्तविक यादृच्छिक चर को संदर्भित करना होता है।
असतत और सतत यादृच्छिक चर के बीच अंतर
हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले संकेतन के संदर्भ में हमें अभी से सटीक होने की आवश्यकता है। शब्द "संभाव्यता वितरण" एक छत्र शब्द है जिसका उपयोग कई संदर्भों में लापरवाही से किया जाता है, लेकिन हम इसके बारे में बहुत अधिक ढीले नहीं होने का प्रयास करेंगे, इसलिए हम भ्रमित नहीं होते हैं। तो, आइए इसे अपने दिमाग में रिकॉर्ड करें: जब एक यादृच्छिक चर X एक होता है निरंतर यादृच्छिक चर , तो हम a . का उपयोग करेंगे घनत्व फंक्शन \({{f}_{X}}\) इससे जुड़ी संभावनाओं की गणना करने के लिए। दूसरी ओर, जब एक यादृच्छिक चर Y एक है असतत यादृच्छिक चर , तो हम a . का उपयोग करेंगे प्रायिकता फलन \({{g}_{Y}}\) इससे जुड़ी संभावनाओं की गणना करने के लिए। घनत्व कार्य और संभाव्यता कार्य एक अलग तरीके से काम करते हैं, हालांकि वे पूरी तरह से समान तरीके से काम करते हैं। मे वादा करता हु।
याद रखें, असतत यादृच्छिक चर उपयोग करते हैं संभाव्यता कार्य , और निरंतर यादृच्छिक चर उपयोग करते हैं घनत्व कार्य . उदाहरण के लिए, एक पॉइसन यादृच्छिक चर एक संभाव्यता फ़ंक्शन का उपयोग करता है और एक द्विपद यादृच्छिक चर एक संभाव्यता फ़ंक्शन का उपयोग करता है। या सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करता है।
गुण जिन्हें सभी संभाव्यता और घनत्व कार्यों द्वारा पूरा करने की आवश्यकता है
हमने वादा किया था कि संभाव्यता कार्य और घनत्व एक अलग लेकिन अभी तक पूरी तरह से समान तरीके से काम करते हैं। अब हम देखेंगे क्यों।
· घनत्व के लिए
इसे देखें: एक सतत यादृच्छिक चर X के लिए घनत्व फलन \(f\) निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करेगा:
(1) \(f\left( x \right)\ge 0\) \(\mathbb{R}\) में सभी x के लिए।
(2) \(\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx} = 1\)
आइए उपरोक्त के बारे में बहुत अधिक न उलझें। स्थिति (1) कह रही है कि घनत्व फलन किसी भी बिंदु पर ऋणात्मक नहीं हो सकता। यह या तो सकारात्मक मान लेता है या शून्य। शर्त (2) कह रही है कि संपूर्ण वास्तविक रेखा पर घनत्व फलन \(f\) का समाकलन 1 होना चाहिए। आम आदमी के शब्दों में, वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 है।
· अब संभाव्यता कार्यों के लिए
एक असतत यादृच्छिक चर X के लिए एक प्रायिकता फलन \(g\) निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करेगा:
(1) \(g\left( x \right)\ge 0\) सभी \(x\in \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) के लिए।
(2) \(\sum\limits_{i=1}^{\infty }{g\left( {{a}_{i}} \right)} = 1\)
ध्यान दें कि \(\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) उन सभी संभावित मानों से मेल खाता है जो यादृच्छिक चर \(X\) द्वारा लिए जा सकते हैं (याद रखें, हम मान रहे हैं कि \(X\) एक असतत चर है)। जहां तक मैं देख सकता हूं, (1) और (2) संभाव्यता कार्यों के लिए घनत्व कार्यों के लिए काफी समान (1) और (2) दिखते हैं। वास्तव में, अधिक उन्नत गणित विषयों में, आप देख सकते हैं कि (1) और (2) को दोनों मामलों के लिए समान रूप से देखा जा सकता है, अधिक सामान्य संदर्भ (माप सिद्धांत) में, लेकिन हम इसे यहां नहीं छूएंगे। मैं आपको यह ध्यान में रखना चाहता हूं कि सभी संभाव्यता कार्य और घनत्व कार्य उन 2 शर्तों को पूरा करेंगे।
उदाहरण 1
मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो 1, 2, 3 और 4 मान ले सकता है
\[ f\left( x \right) =\displaystyle \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{2 } & \text{ for } x=1, \\ \\ \frac{1}{4} & \text{ for } x=2, \\ \\ \frac{1}{8} & \text{ for } x=3, \\ \\ \frac{1}{8} & \text{ for }x=4 \\ \end{array} \right.\]यादृच्छिक चर X के लिए एक प्रायिकता फलन?
उत्तर:
Let us see, we need to see if conditions (1) and (2) are met. First of all, notice that we have \(f\left( x \right)\ge 0\) for all values {1, 2, 3, 4}, which is the set of all possible values that X can take, since \(f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}>\), \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{4}>0\), \(f\left( 3 \right)=\frac{1}{8}>0\) and \(f\left( 4 \right)=\frac{1}{8}>0\). Therefore, condition (1) is met.अब, देखते हैं कि क्या शर्त (2) पूरी होती है: हमारे पास वह है
\[\sum\limits_{i=1}^{4}{f\left( {{x}_{i}} \right)}=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+f\left( 4 \right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1\]
और इसलिए, शर्त (2) भी पूरी होती है। तो अंतिम उत्तर है, हां, \(f\left( x \right)\) यादृच्छिक चर \(X\) के लिए एक प्रायिकता फलन है।
उदाहरण 2
फ़ंक्शन \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\) पर [0,2] पर, 0 पर कहीं और पर विचार करें। क्या \(f\left( x \right)\) एक घनत्व फलन है?
उत्तर:
आइए देखें, हमें यह देखने की जरूरत है कि क्या शर्तें (1) और (2) पूरी होती हैं। सबसे पहले, ध्यान दें कि हमारे पास \(f\left( x \right)={{x}^{2}}\ge 0\) के बाद से सभी \(x\) के लिए \(f\left( x \right)\ge 0\) [0, 2] और \(f=0\) कहीं और है। तो फिर फ़ंक्शन नकारात्मक मान नहीं लेता है, और अब से शर्त (1) पूरी होती है।
शर्त (2) के लिए, हम गणना करते हैं:
\[\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}=\frac{{{2}^{3}}}{3}-\frac{{{0}^{3}}}{3}=\frac{8}{3}>1\]इसलिए, शर्त (2) पूरी नहीं हुई है, और इसलिए, $f\left( x \right)$ एक घनत्व फलन नहीं है।
अंत में, घनत्व और संभाव्यता कार्यों के साथ संभावनाओं की गणना कैसे करें?
यह अंतिम चरण है जिसकी हम तलाश कर रहे थे। हम वैसे भी संभाव्यता और घनत्व कार्यों से क्यों निपटते हैं? खैर, एक अच्छा कारण है, क्योंकि वे हमें संभावनाओं की गणना करने के लिए एक स्पष्ट, स्पष्ट प्रक्रिया की अनुमति देते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बार जब आप एक यादृच्छिक चर के संबंधित घनत्व (प्रायिकता फ़ंक्शन) को जान लेते हैं, तो आप एक यादृच्छिक चर के बारे में सभी जानते हैं। यह आपको पावर देता है।
अच्छा है, लेकिन आप इसे कैसे करते हैं ??? सरल। हमेशा की तरह, आइए हम दो मामलों को देखें, निरंतर यादृच्छिक चर (घनत्व का उपयोग करके) और असतत यादृच्छिक चर (संभाव्यता कार्यों का उपयोग करके) के लिए।
सतत यादृच्छिक चर के लिए कंप्यूटिंग संभावनाएं
मान लीजिए कि X एक सतत यादृच्छिक चर है। एक विशिष्ट प्रायिकता भी \(X\in D\) के रूप में लिखी जाती है, जहाँ \(D\subseteq \mathbb{R}\)। उदाहरण के लिए, रुचि की एक घटना यह हो सकती है कि "X 5 से कम या बराबर है लेकिन 1 से बड़ा या बराबर है"। यह कहने जैसा ही है कि \(X\in \left[ 1,5 \right]\), तो उस स्थिति में हमारे पास \(D=\left[ 1,5 \right]\) होगा। तो दूसरे शब्दों में, संभाव्यता घटनाओं को सेट द्वारा दर्शाया जाता है (आमतौर पर अंतराल, लेकिन हमेशा जरूरी नहीं)।
घटना \(X\in D\) घटित होने की प्रायिकता है
\[\Pr \left( X\in D \right)=\int\limits_{D}^{{}}{f\left( x \right)dx}\]उदाहरण के लिए, यदि \(D=\left[ 1,5 \right]\), हमारे पास है
\[\Pr \left( X\in \left[ 1,5 \right] \right)=\Pr \left( 1\le X\le 5 \right)=\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)dx}\]तो, यह सुपर सिंपल है। हम उस घटना द्वारा निर्धारित सीमा पर घनत्व फ़ंक्शन को एकीकृत करते हैं जिसके लिए हम संभाव्यता की गणना करना चाहते हैं।
असतत यादृच्छिक चर के लिए कंप्यूटिंग संभावनाएं
मान लीजिए X एक असतत यादृच्छिक चर है। इस मामले में, एक संभाव्यता घटना को मूल्यों के एक सेट के रूप में भी व्यक्त किया जाता है, केवल इस मामले में, एक घटना \(\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\) का सबसेट है, सभी संभावित मानों का सेट जिसे \(X\) द्वारा लिया जा सकता है। तो चलो \(D\subseteq \left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},....,{{a}_{n}},.... \right\}\), घटना \(X\in D\) होने की संभावना है
\[\Pr \left( X\in D \right)=\Pr \left( X\in \left\{ {{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{k}} \right\} \right)=\sum\limits_{j=1}^{k}{f\left( {{b}_{j}} \right)}\]उदाहरण के लिए, मान लें कि X द्विपद है जिसमें \(N = 10\) और \(p = 0.5\) पैरामीटर हैं। फिर, अगर मैं इस संभावना की गणना करना चाहता हूं कि एक्स 1 या 2 है, तो मुझे गणना करने की आवश्यकता है
\[\Pr \left( X\in \left\{ 1,2 \right\} \right)=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)\]
जहां \(f\) पैरामीटर \(N = 10\) और \(p = 0.5\) के साथ द्विपद बंटन के लिए संगत प्रायिकता फलन है। तो, यह सुपर सिंपल भी है। हम प्रायिकता फलन के मूल्यों का योग उन बिंदुओं पर करते हैं, जिनके लिए हम प्रायिकता की गणना कर रहे हैं।