संजात के बारे में अधिक (भाग 2)

संकेतन: किसी फलन \(f(x)\) के अवकलज \(f'(x)\) को इस रूप में भी दर्शाया जाता है

\[\frac{df}{dx} (x)\]

यह संकेतन इस तथ्य से आता है कि जब आप व्युत्पन्न की गणना करते हैं, तो आप गणना करते हैं

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

शब्द \(f(x)-f(x_0)\) को आमतौर पर \(\Delta f\) के रूप में संदर्भित किया जाता है, और \(x-x_0\) शब्द को \(\Delta x\) के रूप में संदर्भित किया जाता है। तो, कभी-कभी, कुछ पुस्तकों (विशेषकर भौतिकी की पुस्तकों) में आपको परिभाषा मिल जाएगी

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\] Theorems to calculate Derivatives

अब भारी तोपखाने को पेश करने का समय आ गया है। व्यवहार में, आप सीमा की गणना नहीं करेंगे

\[f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

अक्सर। यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि इसे इस तरह कैसे करना है, लेकिन अधिकांश समय यह आवश्यक नहीं होगा।

उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=x^3+x^2\) के व्युत्पन्न की गणना करें।

समाधान: हम यहां क्या करते हैं, क्या हम व्युत्पन्न की गणना करने के लिए सीमा लागू करते हैं ?? ठीक है, आपके तर्क की पंक्ति निम्नलिखित होनी चाहिए: फ़ंक्शन \(f(x) = x^3+x^2\) \(x^3\) और \(x^2\) के योग से मेल खाता है। अंतर्ज्ञान यह है कि यदि मैं प्रत्येक पद के व्युत्पन्न की गणना कर सकता हूं अलग से , तब मैं गणना को सरल बना सकता था।

दूसरे शब्दों में, अगर मुझे पता था कि \(x^3\) का व्युत्पन्न क्या है, और अगर मुझे यह भी पता है कि \(x^2\) का व्युत्पन्न क्या है, तो मुझे पता होना चाहिए कि \(x^3+x^2\) का व्युत्पन्न क्या है।

\(\star\) वास्तव में, आप करते हैं . हमारे पास निम्न प्रमेय है:

प्रमेय: दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न

मान लें कि \(f(x)\) और \(g(x)\) हैं विभेदक \(x_0\) पर (इसका मतलब है कि व्युत्पन्न उस बिंदु पर मौजूद है)। फिर, हमारे पास वह है

\[ \frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{df}{dx}(x) + \frac{dg}{dx}(x) \]

दूसरे शब्दों में, योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव का योग है (ये खाली शब्द नहीं हैं, वे वास्तव में परिणाम का सटीक वर्णन करते हैं)। इसे आमतौर पर के रूप में संदर्भित किया जाता है व्युत्पन्न की रैखिकता संपत्ति

अब हम एक परिणाम दिखाते हैं जो हमें बहुत से डेरिवेटिव की गणना करने में मदद करेगा:

प्रमेय: निम्नलिखित सभी \(n\ne 0\) के लिए सही है:

\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \]

सबूत: हम आपको घातक बोरियत से बचाने के लिए कुछ भी गहरा नहीं करेंगे, लेकिन आइए इसे महसूस करने के लिए इसे करें। परिभाषा से

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{x^n- x_0^n}{x-x_0}\] \[= \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{(x- x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0 + ...+ xx_0^{n-2} +x_0^{n-1})}{x-x_0} = \displaystyle\lim_{x\to x_0}(x^n+x^{n-1}x_0 + ...+ xx_0^n +x_0^n) \] \[ = x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_0 + ...+ x_0x_0^{n-2} +x_0^{n-1} = n x_0^{n-1}\]

तो, आइए \(f(x) = x^3+x^2\) के अवकलज को खोजने की समस्या पर वापस आते हैं। डेरिवेटिव की रैखिकता का उपयोग करके हम पाते हैं कि

\[\frac{d}{dx}(x^3+x^2) = \frac{d}{dx} x^3 + \frac{d}{dx}x^2 = 3x^2 + 2x\]

आइए याद करें कि \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\), इसलिए इसे क्रमशः \(n=3\) और \(n=2\) मामले में लागू करने पर हमें पिछला परिणाम मिलता है। रैखिकता संपत्ति को अधिक सामान्य तरीके से लिखा जा सकता है:

प्रमेय: मान लें कि \(f(x)\) और \(g(x)\) हैं विभेदक पर \(x_0\) और \(a\) और \(b\) स्थिरांक हैं। फिर

\[ \frac{d}{dx}(af(x)+ bg(x)) = a\frac{df}{dx}(x) + b\frac{dg}{dx}(x) \]

नीचे हम इस परिणाम को लागू करने का एक उदाहरण दिखाते हैं:

उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=3 x^3+2 x^{1/2}\) के व्युत्पन्न की गणना करें।

समाधान: रैखिकता का प्रयोग करते हुए, हम पाते हैं कि