Проверка гипотез: как узнать, какой у нас тип хвоста?
Один вопрос, который обычно беспокоит студентов, изучающих основную статистику, когда они пытаются решить проверка гипотезы Вопрос, будь то домашнее задание или тест, заключается в том, как оценить, какой тип хвоста имеет тест гипотезы.
Проблема определения типа хвоста просто сводится к правильному уточнению нулевой и альтернативной гипотез. Вы правильно определили гипотезы для теста, проблема определения того, какой тип хвоста является правильным (правосторонний, левосторонний или двусторонний), проста.
Чтобы увидеть тип хвоста, нам нужно рассмотреть альтернативную гипотезу. Если знак в альтернативной гипотезе - "<", то у нас есть левосторонний тест. Или, если знак в альтернативной гипотезе - ">", то у нас есть правосторонний тест. Или, с другой стороны, если знак в альтернативной гипотезе - "", то у нас есть двусторонний тест.
ПОЗВОЛЬТЕ НАМ РАССМОТРЕТЬ СЛЕДУЮЩИЙ ПРИМЕР :
Предположим, что простая случайная выборка весов 19 зеленых M&M имеет среднее значение 0,8635 грамма, а также предположим, что стандартное отклонение генеральной совокупности \(\sigma\), как известно, составляет 0,0565 г. Давайте использовать уровень значимости 0,05 для проверки утверждения о том, что средний вес всех зеленых M&M равен 0,8535 г, что является средним весом, необходимым для того, чтобы вес M&M был напечатан на этикетке упаковки. Вес зеленых M&M соответствует весу, указанному на этикетке упаковки?
Вот как мы это решаем
Мы хотим проверить следующие нулевые и альтернативные гипотезы
\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {0.8535}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {0.8535} \\ \end{align}\]
Учитывая, что стандартное отклонение совокупности известно, с \(\sigma = 0.0565\) мы используем нормальное распределение. Z-статистика рассчитывается как
\[z =\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma / \sqrt{n}}\]
Мы знаем, что это двусторонний z-тест (поскольку знак в альтернативной гипотезе - "").
Z-статистика вычисляется по следующей формуле:
\[z =\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{{0.8635}-0.8535}{0.0565 /\sqrt{19}}={0.7715}\]
Критическое значение для \(\alpha = 0.05\) для этого двустороннего теста оказалось \(z_{c} = {1.96}\). Область отклонения соответствует
\[R=\left\{ z:\,\,\,|z|>{1.96} \right\}\]
Поскольку \(|z| = 0.7715 {<} z_c = 1.96\), то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу H 0 .
Таким образом, у нас нет достаточных доказательств, чтобы отклонить утверждение, что зеленые M&M имеют вес, соответствующий этикетке на упаковке.