Подробнее о производных (часть 2)

Обозначение: Производное \(f'(x)\) функции \(f(x)\) также обозначается как

\[\frac{df}{dx} (x)\]

Эта запись происходит от того, что когда вы вычислите производную, вы вычисляете

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Термин \(f(x)-f(x_0)\) обычно называется \(\Delta f\), а термин \(x-x_0\) называется \(\Delta x\).Так, иногда в некоторых книгах (специально физические книги) вы собираетесь найти определение

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\] Theorems to calculate Derivatives

Сейчас самое время представить тяжелую артиллерию.На практике вы не будете вычислить предел

\[f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

очень часто.Очень важно знать, как это сделать так, но большую часть времени это не понадобится.

Пример: Вычислить производную функции \(f(x)=x^3+x^2\).

Решение: Что мы здесь делаем, применяем лишь ограничение для вычисления производной ??Ну, ваша линия рассуждений должна быть следующей: функция \(f(x) = x^3+x^2\) соответствует сумме \(x^3\) и \(x^2\).Интуиция заключается в том, что если бы я мог вычислить производное каждого термина раздельно Тогда я мог бы упростить расчет.

Другими словами, если я знал, что такое производное __xxyz_a__, и если я тоже знал, что такое производное \(x^2\), то я должен знать, что такое производное \(x^3+x^2\)......

\(\star\) На самом деле, вы делаете ОтказУ нас есть следующая теорема:

Теорема: Производная сумма двух функций

Предположим, что \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируемый в \(x_0\) (это означает, что производное существует в этот момент).Тогда у нас есть это

\[ \frac{d}{dx}(f(x)+g(x)) = \frac{df}{dx}(x) + \frac{dg}{dx}(x) \]

Другими словами, производная сумма - это сумма производных (они не пустые слова, они действительно точно описывают результат).Это обычно называется Свойство линейности производной

Теперь мы показываем результат, который поможет нам вычислить много производных:

Теорема: Следующее проводит true для всех \(n\ne 0\):

\[ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \]

Доказательство: Мы не будем делать ничего слишком глубоко, просто чтобы спасти вас от смертельной скуки, но давайте просто сделаем это, чтобы чувствовать это.По определению

\[\frac{df}{dx}(x_0) = \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{x^n- x_0^n}{x-x_0}\] \[= \displaystyle\lim_{x\to x_0} \frac{(x- x_0)(x^{n-1}+x^{n-2}x_0 + ...+ xx_0^{n-2} +x_0^{n-1})}{x-x_0} = \displaystyle\lim_{x\to x_0}(x^n+x^{n-1}x_0 + ...+ xx_0^n +x_0^n) \] \[ = x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_0 + ...+ x_0x_0^{n-2} +x_0^{n-1} = n x_0^{n-1}\]

Итак, давайте вернемся к проблеме поиска производной \(f(x) = x^3+x^2\).Используя линейность производных, мы находим, что

\[\frac{d}{dx}(x^3+x^2) = \frac{d}{dx} x^3 + \frac{d}{dx}x^2 = 3x^2 + 2x\]

Напомним, что \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\), поэтому применяя это в случае \(n=3\) и \(n=2\) соответственно, мы получаем предыдущий результат.Свойство линейности можно записать более общей способ:

Теорема: Предположим, что \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируемый в \(x_0\) и \(a\) и \(b\) - константы.потом

\[ \frac{d}{dx}(af(x)+ bg(x)) = a\frac{df}{dx}(x) + b\frac{dg}{dx}(x) \]

Ниже мы показываем пример того, как применить этот результат:

Пример: Вычислить производную функции \(f(x)=3 x^3+2 x^{1/2}\).

Решение: Используя линейность, мы получаем это