Вопрос 1: В классическом исследовании младенческой привязанности, Гарлоу (1959) разместили младенцев обезьян в клетки с двумя искусственными суррогатными матерями. Одна "мама" была сделана из голыми проволочной сетки и содержала детскую бутылку, из которой могут кормить младенцев. Другая мать была сделана из мягкой махровой ткани и не дала никакого доступа к еде. Гарлоу заметил младенцев обезьян и записал, сколько времени в день проводилось с каждой матерью. В типичный день младенцы потратили в общей сложности 18 часов, цепляясь за одну из двух матерей. Если не было никаких предпочтений между ними, вы ожидаете, что время будет разделено равномерно, в среднем μ = 9 часов для каждого из матерей. Однако типичная обезьяна провела около 15 часов в день с матерью махровой ткани, указывая на сильные предпочтения мягкой, приятной матери. Предположим, образец N = 9 младенческих обезьян в среднем в среднем м = 15,3 часа в день с SS = 216 с матерью махровой ткани. Является ли этот результат достаточным для заключения, что обезьяны провели значительно больше времени с более мягкой матерью, чем ожидалось, если бы не было никаких предпочтений? Используйте двусторонний тест с \(\alpha = .05\).

Решение: Мы хотим проверить следующее Нуль и альтернативные гипотезы

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {9}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {9} \\ \end{align}\]

Поскольку популяция стандартного отклонения $ \ Sigma $ неизвестен, мы должны использовать T-тест со следующей формулой:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}\]

Это соответствует двустороннему T-тесту.

\[s=\sqrt{\frac{SS}{n-1}}=\sqrt{27}=5.196152\]

T-статистика вычисляется следующей формулой:

\[t=\frac{M-\mu }{s/\sqrt{n}}=\frac{15.3-9}{5.1962/\sqrt{9}}=3.6373\]

Критическое значение для \(\alpha = 0.05\) и для df = n- 1 = 9 -1 = 8 градусов свободы для этого двуххвостового теста \(t_{c} = 2.31\).Обнаруживая область дается

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.31} \right\}\]

С \(|t| = 3.6373 {>} t_c = 2.31\), то мы отвергаем нулевую гипотезу H _0. Отказ

Следовательно, у нас достаточно доказательств, чтобы поддержать утверждение о том, что обезьяны провели значительно больше времени с более мягкой матерью, чем ожидалось, если бы не было никаких предпочтений.

Вопрос 2: Учитывая размер выборки 38, с образцом среднего уровня 660.3 и пробы стандартного отклонения 95,9. Мы должны выполнить следующую гипотезу.

Нулевая гипотеза H0: μ = 700

Альтернативная гипотеза H0: μ ≠ 700

На уровне значения 0,05

.Рассчитать статистику тестирования
(Совет: Это тот случай, когда мы тестируем претензию о соревнованиях населения, означающие при наличии стандартного отклонения, не известно; 95,9 - это выборка стандартного отклонения, а не в стандартном отклонении населения).

б.Используйте таблицу A-3, чтобы найти критическое значение для этого теста и принять решение:
отклонить или не отклонить нулевую гипотезу

Решение: а) Наш интерес в тестировании следующих нулевых и альтернативных гипотез

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\mu {=} {700}\, \\ {{H}_{A}}:\mu {\ne} {700} \\ \end{align}\]

Поскольку население стандартное отклонение \(\sigma\) неизвестно, мы должны использовать T-тест со следующим выражением:

\[t =\frac{\bar{X}-\mu }{s / \sqrt{n}}\]

Это соответствует двустороннему T-тесту.T-статистика вычисляется следующей формулой:

\[t=\frac{\bar{X}-\mu }{s /\sqrt{n}}=\frac{{660.3}-700}{95.9/\sqrt{38}}={-2.5519}\]

б) Критическое значение для \(\alpha = 0.05\) и для \(df = n- 1 = 38 -1 = 37\) степени свободы для этого двустороннего теста \(t_{c} = 2.026\).Обнаруживая область дается

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.026} \right\}\]

С \(|t| = 2.5519 {>} t_c = 2.026\), то мы отвергаем нулевую гипотезу H _0. Отказ

Следовательно, у нас достаточно доказательств для поддержки утверждения о том, что среднее население отличается от 700.

Вопрос 3: Агент по недвижимости желает определить, договорились ли налоговые оценщики и оценщики недвижимости о ценностях домов.Случайный образец двух групп оценил 10 домов.Данные отображаются здесь.Существует ли значительная разница в ценностях домов для каждой группы?Используйте a = 0,05.

	Оценщики недвижимости	Tax assessors
Mean	$ 83,256.	$ 88 354.
Среднеквадратичное отклонение	$ 3256.	$ 2340.
Sample size	10.	10.

Решение: Мы заинтересованы в тестировании

\[\begin{align}{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}} {=} {{\mu }_{2}} \\ {{H}_{A}}:{{\mu }_{1}} {\ne} {{\mu }_{2}} \\ \end{align}\]

который соответствует двусторонним независимым образцам T-тестирование.Перед применением T-тестирования необходимо проверить, можно ли предположить ли отклонения равными или нет.Нам нужно проверить

\[\begin{align}{{H}_{0}}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2} \\{{H}_{A}}:\sigma _{1}^{2}\ne \sigma _{2}^{2} \\ \end{align}\]

F-статистика вычисляется как

\[F=\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}=\frac{{3256}^{2}}{{2340}^{2}}=1.9361\]

Нижние и верхние критические значения для \(\alpha =0.05\) и df _1. = 9 и дф _2. = 9 есть

\[{{F}_{lower}}=0.2484,\,\,\,{{F}_{upper}}=4.026\]

Это означает, что мы не отказываемся от нулевой гипотезы одинаковых отклонений.Соблюдайте, что мы предполагаем, что отклонения равны, поэтому T-статистика вычисляется как:

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}\]

где объединенное стандартное отклонение вычисляется как

\[{{s}_{p}}=\sqrt{\frac{\left( {{n}_{1}}-1 \right)s_{1}^{2}+\left( {{n}_{2}}-1 \right)s_{2}^{2}}{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}-2}}=\sqrt{ \frac{9\times {3256}^{2}+9 \times {2340}^{2}}{9+9}}= {2835.2369}\]

Это означает, что T-статистика

\[t=\frac{{{{\bar{X}}}_{1}}-{{{\bar{X}}}_{2}}}{{{s}_{p}}\sqrt{\frac{1}{{{n}_{1}}}+\frac{1}{{{n}_{2}}}}}=\frac{{83256}-{88354}}{2835.2369\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}}={-4.0206}\]

Критическое значение для \(\alpha = 0.05\) и для \(df = 18\) степени свободы для этого двустороннего теста \(t_{c} = 2.1\).Обнаруживая область дается

\[R=\left\{ t:\,\,\,|t|>{2.1} \right\}\]

С \(|t| = 4.0206 {>} t_c = 2.1\), то мы отвергаем нулевую гипотезу H _0. Отказ

Следовательно, у нас достаточно доказательств поддержки утверждения о том, что существует значительная разница в ценностях домов для каждой группы.