सांख्यिकी ट्यूटोरियल: प्रतिशत के लिए परिभाषित गाइड - पुस्तक पर सभी चाल
यह एक ट्यूटोरियल के लिए एक अच्छा विषय है क्योंकि की अवधारणा प्रतिशतता इस तथ्य के कारण भ्रमित हो जाता है कि बल्कि भ्रमित जानकारी कभी-कभी छात्रों को प्रदान की जाती है, और वहां कई सम्मेलन कभी-कभी भ्रामक और सादे गलत हो सकते हैं।निम्नलिखित अनुच्छेदों में हम की अवधारणा से बाहर निकलेंगे प्रतिशतता एक सटीक तरीके से, ताकि आप जानते हैं कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।
संचयी बटवारा
सबसे पहले, हमें प्रतिशत की परिभाषा के बारे में स्पष्ट होना चाहिए, जो संचयी वितरण की अवधारणा से जुड़ा हुआ है।एक यादृच्छिक परिवर्तनीय एक्स के लिए, संबंधित संचयी वितरण समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है
\[{{F}_{X}}\left( x \right)=\Pr \left( X\le x \right)\]यह एक दिए गए मूल्य के लिए है एक्स , संबंधित संचयी वितरण समारोह यह संभावना है कि यादृच्छिक चर से कम या बराबर है एक्स ।ध्यान दें कि प्रतीक का उपयोग किया गया एक्स चूंकि तर्क एक सामान्य कार्य तर्क है।यदि हम \({{F}_{X}}\left( y \right)\) लिखते हैं तो हमारा मतलब संचयी वितरण है y (जो संभावना के अनुरूप है कि यादृच्छिक चर से कम या बराबर है y ), या यदि हम \({{F}_{X}}\left( 4 \right)\) लिखते हैं तो हमारा मतलब है कि 4 पर संचयी वितरण (जो संभावना के अनुरूप है कि यादृच्छिक चर 4 से कम या बराबर है)।
परिभाषा के साथ, यह स्पष्ट है कि \({{F}_{X}}\) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो 0 से 1 तक मान लेता है (क्योंकि यह संभावना से आता है) और यह गैर-घटता है (यह है, यह या तो बढ़ता है या स्थिर रहता है, लेकिन यह कभी कम नहीं होता है), लेकिन कम स्पष्ट क्या है, और जो संभाव्यता के सिद्धांतों से साबित किया जा सकता है, किसी भी संचयी वितरण समारोह \({{F}_{X}}\) काफी अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, क्योंकि यह सही है (जो लगभग मतलब है कि समारोह या तो निरंतर है या यह संभावित रूप से हो सकता है"कूदता" .... यह उससे अधिक जटिल है, लेकिन अब आप इस तरह सोच सकते हैं)।सामान्य रूप से, यादृच्छिक चर जो मूल्यों की निरंतर श्रृंखला लेते हैं, उनके पास निरंतर संचयी फ़ंक्शन \({{F}_{X}}\) होगा जबकि यादृच्छिक चर जो मूल्यों की एक अलग श्रृंखला लेते हैं, उनके संबंधित \({{F}_{X}}\) के ग्राफ में "कूदता" होगा।
प्रतिशत क्या है?
अब हम एक प्रतिशत को परिभाषित कर सकते हैं।\(\alpha \in \left[ 0,1 \right]\) के लिए, हम \(\alpha\) प्रतिशत को \({{P}_{\alpha }}\) के रूप में परिभाषित करते हैं, ताकि
\[\Pr \left( X\le {{P}_{\alpha }} \right)=\alpha\]मानव भाषा में, एक \(\alpha\) प्रतिशत एक बिंदु है ताकि संभावना है कि यादृच्छिक चर उस बिंदु से कम या बराबर है, बिल्कुल \(\alpha\) है।उदाहरण के लिए, एक 0.10 प्रतिशत वितरण में एक बिंदु है ताकि संभावना है कि यादृच्छिक चर उस बिंदु से कम या बराबर है, बिल्कुल 0.10 है।आम तौर पर, पूछने के बजाय, उदाहरण के लिए, 0.10 प्रतिशत के लिए, आपको 10% प्रतिशत, या 10 वीं प्रतिशत के लिए कहा जाएगा।वे सरल नोटिस हैं जिन्हें अवगत होना चाहिए।
एक यादृच्छिक परिवर्तनीय एक्स के लिए एक प्रतिशत \({{P}_{\alpha }}\) अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है जब संचयी वितरण समारोह \({{F}_{X}}\left( x \right)\) निरंतर है।यदि \({{F}_{X}}\left( x \right)\) में अपने ग्राफ में "कूदता है" है, तो कुछ प्रतिशत मूल्यों को परिभाषित करना थोड़ा मुश्किल हो सकता है।यही कारण है कि प्रतिशत निरंतर यादृच्छिक चर (जैसे सामान्य वितरण, घातीय वितरण, आदि) के लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है, लेकिन असतत चर (जैसे पोइसन, द्विपक्षीय, आदि) के लिए यह मुश्किल हो सकता है।
गणना कैसे एक प्रतिशत है?
सबसे पहले, आपको संचयी फ़ंक्शन \({{F}_{X}}\) जानने की जरूरत है।तो फिर, 0 और 1 के बीच \(\alpha\) के लिए हमें \(x\)__ के लिए हल करने की आवश्यकता है:
\[\alpha ={{F}_{X}}\left( x \right)\]निरीक्षण करें कि एक्स के लिए हल करना उपरोक्त समीकरण curve \( F_{X}(x)\) को \(y=\alpha\) (जो एक्स-अक्ष के समानांतर है) के साथ वक्र \( F_{X}(x)\) को छेड़छाड़ करने जैसा ही है।जब \({{F}_{X}}\) निरंतर होता है, तो \(y=\alpha\) और \({{F}_{X}}\left( x \right)\) के बीच चौराहा मौजूद होता है, लेकिन यह गैर-निरंतर \({{F}_{X}}\left( x \right)\) के लिए \(\alpha\) के सभी मानों के लिए जरूरी नहीं है।
एक प्रतिशत एक पैरामीटर या एक आँकड़ा है?
हमारे द्वारा प्रदान की गई परिभाषा के लिए, एक प्रतिशत एक जनसंख्या पैरामीटर है, क्योंकि यह वितरण कार्य पर सख्ती से निर्भर करता है, न कि नमूना डेटा पर।यही वह जगह है जहां भ्रम उत्पन्न होता है।कभी-कभी छात्रों को नमूना डेटा दिया जाता है जो प्रतिशत की गणना करने के लिए कहा जाता है।हकीकत में, गणना करने के लिए उन्हें क्या कहा जा रहा है, एक नमूना प्रतिशत है, एक आंकड़ा जो नमूना डेटा का उपयोग करके गणना की जाती है, और हम उम्मीद करते हैं कि इसी का एक अच्छा अनुमान होगा।जनसंख्या प्रतिशत।