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इस ट्यूटोरियल के दूसरे भाग में, हम कुछ अन्य थोड़े अधिक जटिल उदाहरणों पर काम करेंगे।
उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x) = x^3 + 2x+1\) को देखते हुए, प्रत्येक बिंदु के लिए व्युत्पन्न \(f'(x)\) की गणना करें जहां इसे परिभाषित किया गया है।
समाधान: ध्यान दें कि इस समस्या में वे हमें एक विशिष्ट बिंदु नहीं दे रहे हैं जिस पर व्युत्पन्न की गणना की जा सके। हमें एक मनमाना बिंदु \(x_0\) पर गणना करने की आवश्यकता है। हम इसे कैसे करते हैं? खैर, हम सिर्फ परिभाषा का पालन करते हैं:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]और अब हम \(f(x)\) की परिभाषा का उपयोग करते हैं। वास्तव में, हम प्राप्त करते हैं:
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{(x^3+2x+1)-(x_0^3+2x_0 +1)}{x-x_0} =\lim_{x\to 0} \frac{x^3+2x+1-x_0^3-2x_0 -1}{x-x_0} \] \[= \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} \]अब हम एक छोटी और साफ बीजगणितीय चाल का उपयोग करते हैं:
\[x^3 - x_0^3 = (x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2)\]अब ध्यान दो। हम व्युत्पन्न की गणना के अंतिम भाग में इस छोटी सी चाल का उपयोग करते हैं, और हम पाते हैं कि
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^3-x_0^3 + 2x-2x_0}{x-x_0} = \lim_{x\to 0} \frac{(x-x_0)(x^2+xx_0+x_0^2) + 2x-2x_0}{x-x_0} \]जैसा कि आप देख सकते हैं, हम \(x-x_0\) को रद्द कर सकते हैं, और हम अंत में प्राप्त करते हैं
\[f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} (x^2+xx_0+x_0^2 + 2) = x_0^2 + x_0^2+x_0^2+2 = 3x_0^2 +2\]दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न फलन \(f'(x) = 3x^2+2\) है। आप समझ सकते हैं? यही मेरा मतलब था जब मैंने कहा कि व्युत्पन्न भी एक कार्य है। इस मामले में, व्युत्पन्न सभी \(x\in \mathbb R\) के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है।
हाँ, यह सच है कि अवकलज की गणना करने के लिए हमें कुछ युक्तियों की आवश्यकता थी। तो, आप इसे कैसे करने जा रहे हैं ?? मैं आपको कुछ बता दूं, आप ज्यादातर समय इस तरह हाथ से डेरिवेटिव की गणना नहीं करेंगे। अगले ट्यूटोरियल में, मैं आपको कुछ से मिलवाऊंगा उपकरण जो डेरिवेटिव की गणना को बहुत आसान बनाते हैं .
तो, अगले एक तक रुको।