अनुक्रम की सीमा क्या है?
एक अनुक्रम \(a_n\) अनंत सरणी या प्रपत्र की संख्या की सूची से मेल खाता है
\[a_1, a_2, a_3, ....\]जहां \(a_1, a_2, a_3, ...\) वास्तविक संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए, अनुक्रम
\[a_n = \frac{1}{n}\]सूची द्वारा दर्शाया गया है
\[1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ....\]क्योंकि वे मान हैं जो अभिव्यक्ति \(a_n = \frac{1}{n}\) लेता है जब \(n\) मान 1, 2, 3, ...आदि लेता है।
अनुक्रमों का अभिसरण
एक अवधारणा जिसे आमतौर पर समझना कठिन होता है, वह है अनुक्रम का अभिसरण। हालांकि यह विचार बहुत छोटा है: एक अनुक्रम \(a_m\) एक मान \(a\) में परिवर्तित हो जाता है यदि अनुक्रम के मान \(a\) के करीब और करीब आते हैं (वास्तव में वे जितना हम चाहते हैं) \(n\) अनंत तक पहुंचते हैं।
उदाहरण के लिए: अनुक्रम \(a_n = 1/n\) ऐसा है कि
\[a_n = \frac{1}{n} \to 0\]क्योंकि \(1/n\) का मान "जितना हम चाहते हैं शून्य के करीब" हो जाता है क्योंकि \(n\) अनंत के करीब पहुंचता है।
अभिसरण की औपचारिक परिभाषा:
अनुक्रम \(a_n \to a\) \(n \to \infty\) के रूप में, या अन्यथा कहा \(\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) यदि
• सभी \(\varepsilon >0\) के लिए, \(n_0\) मौजूद है जैसे कि \(n \geq n_0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, |a_n - a|< \varepsilon \)
यह कह रहा है कि आप \(a\) से अनुक्रम को कितना भी करीब क्यों न चाहें, अनुक्रम में हमेशा एक बिंदु ऐसा होता है कि उससे आगे के सभी बिंदु \(a\) के काफी करीब होते हैं। दूसरे शब्दों में एक अनुक्रम का अभिसरण यह नहीं बताता है कि अनुक्रम की कुछ संख्या \(a\) की सीमा के काफी करीब हो जाती है, लेकिन इसके बजाय, यह इंगित करता है कि यदि हम अनुक्रम में काफी दूर जाते हैं, तो if के सभी मान काफी करीब होंगे।
सीमाओं का बीजगणित
सीमाओं के साथ संचालन करना उतना जटिल नहीं है, जब हम उनमें से कुछ को जान लेते हैं। वास्तव में, ऐसे सरल नियम हैं जो सरल नियमों के आधार पर अधिक जटिल सीमाओं की गणना करने की अनुमति देते हैं। ये नियम नीचे दिखाए गए हैं:
अगर \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n} = a\) और \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = b\) तो हमारे पास है:
(1) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_n + b_n) = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}+\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a + b \)
(2) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n b_n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}\times\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n} = a b \)
(3) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{a_n}}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{a}{b} \)
(जहां संपत्ति (3) \(b \ne 0 \) तक रहती है।)
उदाहरण: सीमा
\[\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2 + 1}\]पहले अंश और हर दोनों को \(\frac{1}{n^2}\) से गुणा करके गणना की जाती है, जिसका अर्थ है
\[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2 + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}= \frac{1}{1} = 1\]क्योंकि \( \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2} = 0\)।