एनोवा ट्यूटोरियल
इस सप्ताह के ट्यूटोरियल में, हम के विषय को कवर करने जा रहे हैं भिन्नता का विश्लेषण . प्रासंगिक नमूना समस्याओं की एक सूची नीचे देखें, जिसमें चरणबद्ध चरण समाधान शामिल हैं।
हमें उम्मीद है कि आप उन्हें उपयोगी पाएंगे। हम अपने समुदाय के सदस्यों के साथ पूर्ण ट्यूटोरियल, टिप्स और संकेत साझा करते हैं। कृपया संकोच न करें संपर्क करें यदि आप कोई प्रश्न.
नमूना एनोवा समस्याएं
प्रश्न 1: बार-बार किए गए उपायों से माध्य अंतर का मूल्यांकन करने के लिए विचरण के विश्लेषण का उपयोग किया गया था शोध अध्ययन। परिणाम F(3,24)=6.40 के रूप में रिपोर्ट किए गए थे।
ए। अध्ययन में कितनी उपचार स्थितियों की तुलना की गई?
बी। अध्ययन में कितने व्यक्तियों ने भाग लिया?
समाधान: (ए) 3+1 = 4 उपचार की स्थिति थी।
(बी) व्यक्तियों की कुल संख्या 3 + 24 + 1 = 28 है।
प्रश्न 2: निम्नलिखित डेटा तीन उपचारों की तुलना में एक स्वतंत्र-उपायों के अध्ययन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
ए। 3 उपचार साधनों के सेट के लिए एसएस की गणना करें। (तीन साधनों का उपयोग n = 3 अंकों के सेट के रूप में करें और SS की गणना करें।)
बी। भाग a से परिणाम का उपयोग करते हुए, n (SS का अर्थ) की गणना करें। ध्यान दें कि यह मान एसएस के बीच के बराबर है (समीकरण 13.6 देखें)।
सी। अब, टी मानों (समीकरण 13.7) का उपयोग करके कम्प्यूटेशनल फॉर्मूला के बीच एसएस की गणना करें। आपको भाग बी के समान ही परिणाम प्राप्त करना चाहिए।
समाधान: (ए) हम पाते हैं कि \(\bar{M}=\frac{2+3+7}{3}=4\)
जिसका मतलब है कि
\[S{{S}_{Means}}={{\left( 2-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3-4 \right)}^{2}}+{{\left( 7-4 \right)}^{2}}=4+1+9=14\]
(बी) इसका तात्पर्य है कि \(n*S{{S}_{Means}}=10\times 14=140\)।
(सी) दूसरी ओर, हम प्राप्त करते हैं,
\[S{{S}_{Between}}=\frac{{{20}^{2}}}{10}+\frac{{{30}^{2}}}{10}+\frac{{{70}^{2}}}{10}-\frac{{{120}^{2}}}{30}=140\]
प्रश्न 3:
पाइप के फटने से घरों को हुए नुकसान की मरम्मत करना महंगा पड़ सकता है। जब तक रिसाव का पता चलता है, तब तक सैकड़ों गैलन पानी घर में भर चुका होगा। स्वचालित शटऑफ वाल्व प्लंबिंग विफलताओं से व्यापक जल क्षति को रोक सकते हैं। वाल्व में सेंसर होते हैं जो रिसाव की स्थिति में पानी के प्रवाह को रोकते हैं, जिससे बाढ़ को रोका जा सकता है। एक महत्वपूर्ण विशेषता पानी के रिसाव का पता लगाने के लिए सेंसर के लिए आवश्यक समय (मिलीसेकंड में) है। चार अलग-अलग शटऑफ वाल्वों के लिए प्राप्त नमूना डेटा जल प्रवाह फ़ाइल में निहित है।
ए। प्रासंगिक एनोवा तालिका तैयार करें और यह निर्धारित करने के लिए एक परिकल्पना परीक्षण करें कि चार शटऑफ वाल्व मॉडल के बीच माध्य पता लगाने का समय अलग है या नहीं। 0.05 के महत्व स्तर का प्रयोग करें ।
बी। नमूनों के बीच भिन्नता का स्रोत क्या है?
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वाल्व 1 |
वाल्व 2 |
वाल्व 3 |
वाल्व 4 |
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17 |
18 |
28 |
17 |
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10 |
17 |
25 |
17 |
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18 |
1 1 |
30 |
17 |
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18 |
16 |
26 |
19 |
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17 |
16 |
25 |
18 |
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14 |
18 |
27 |
21 |
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18 |
14 |
23 |
21 |
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13 |
17 |
23 |
12 |
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10 |
20 |
26 |
15 |
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1 1 |
14 |
22 |
18 |
समाधान: निम्न तालिका प्रदान किए गए डेटा से प्राप्त होती है
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ध्यान दें |
वाल्व 1 |
वाल्व 2 |
वाल्व 3 |
वाल्व 4 |
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17 |
18 |
28 |
17 |
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10 |
17 |
25 |
17 |
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18 |
1 1 |
30 |
17 |
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18 |
16 |
26 |
19 |
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17 |
16 |
25 |
18 |
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14 |
18 |
27 |
21 |
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18 |
14 |
23 |
21 |
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13 |
17 |
23 |
12 |
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10 |
20 |
26 |
15 |
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1 1 |
14 |
22 |
18 |
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अर्थ |
14.6 |
16.1 |
25.5 |
17.5 |
|
सेंट देव। |
3.406 |
2.558 |
2.461 |
2.677 |
हम परीक्षण करना चाहेंगे
\[H_0: \,\mu_{1}= \mu_{2}= \mu_{3}= \mu_{4}\]
\[H_A: \operatorname{Not all the means are equal}\]
उपरोक्त तालिका में पाए गए डेटा के साथ, हम निम्नलिखित मानों की गणना कर सकते हैं, जो एनोवा तालिका के निर्माण के लिए आवश्यक हैं। हमारे पास है:
\[SS_{Between}=\sum\limits_{i=1}^{k}{n}_{i} {\left( {\bar{x}}_{i}-\bar{\bar{x}} \right)}^{2}\]
and therefore\[SS_{Between}={10}\left({14.6}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({16.1}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({25.5}-{18.425}\right)^2+ {10}\left({17.5}-{18.425}\right)^2=709.475\]
Also,\[SS_{Within} = \sum\limits_{i=1}^{k}{\left( {n}_{i}-1 \right) s_{i}^{2}}\]
जिससे हमें मिलता है
\[SS_{Within}=\left({10}-1\right) \times {3.406}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.558}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.461}^2+ \left({10}-1\right) \times {2.677}^2=282.3\]
Therefore\[MS_{Between}=\frac{SS_{Between}}{k-1}= \frac{{709.475}}{3}= {236.492}\]
इसी प्रकार यह प्राप्त होता है कि
\[MS_{Within} = \frac{SS_{Within}}{N-k}= \frac{{282.3}}{36}= {7.842}\]
इसलिए, एफ-सांख्यिकी की गणना इस प्रकार की जाती है
\[F=\frac{MS_{Between}}{MS_{Within}} = \frac{{236.492}}{{7.842}}= {30.1583}\]
\(\alpha ={0.05}\), \(df_{1} = 3\) और \(df_{2}= {36}\) के लिए महत्वपूर्ण मान किसके द्वारा दिया जाता है
\[F_C = {2.8663}\]
और संबंधित पी-मान है
\[p=\Pr \left( {{F}_{3,36}}> {30.1583} \right) = {0.000}\]
यह देखा गया है कि p-मान महत्व स्तर \[\alpha =0.05\] से कम है, और फलस्वरूप हम \({{H}_{0}}\) को अस्वीकार करते हैं। नतीजतन, हमारे पास 0.05 महत्व स्तर पर समान साधनों की शून्य परिकल्पना को खारिज करने के लिए पर्याप्त सबूत हैं।
संक्षेप में, हमारे पास निम्नलिखित एनोवा तालिका है:
|
स्रोत |
एसएस |
डीएफ |
एमएस |
एफ |
पी-वैल्यू |
क्रिट। एफ |
|
समूहों के बीच |
709.475 |
3 |
236.492 |
30.1583 |
0.000 |
2.8663 |
|
समूहों के भीतर |
282.3 |
36 |
7.842 |
|||
|
कुल |
991.775 |
39 |
||||
(बी) नमूनों के बीच वर्गों का योग 709.475 है।